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Título: Tópicos de Topologia no R^n 

Grande Área: Ciências Exatas e da Terra 

Área: Matemática 

Sub-Área: Análise

Introdução e Justificativa:

O desenvolvimento da Análise Matemática se origina com a preocupação em dá formalismo e rigor matemático ao Cálculo, descoberto no século XVII, cujos con estavam baseados em interpretações geométricas e concepções intuitivas. Ao longo dos séculos XVIII, XIX e início do século XX, a aritmetização do Cálculo foi protagonizada por célebres matemáticos, entre os quais podemos destacar d’ Alembert, Lagrange, Cauchy, Bolzano, Riemann, Weierstrass e Dirichlet, que estabeleceram em bases sólidas os conceitos de limite, continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade. A tarefa cuidadosa em dá uma fundamentação lógica e rigorosa aos conceitos do Cálculo tornou mais abstratos as noções, por exemplo, de espaço, dimensão e convergência, que são consideradas em toda a sua generalidade por outra teoria, a Topologia, originada em meados do século XIX. Desta forma, no estudo da A Matemática, se faz necessário a abordagem de aspectos topológicos dos conjuntos que servirão de domínios para as funções consideradas. Ao estudarmos a disciplina Análise na reta nos cursos de graduação em Matemática, os personagens centrais são os números reais e as funções reais de uma v que apresentem alguma regularidade, sendo fácil, neste caso, identificar que os subconjuntos conexos são os intervalos reais. Por outro lado, quando considera espaços com dimensões maiores, vemos que é impossível classificar topologicamente os subconjuntos conexos de R^n se n≥2, além disso, os conceitos de Álge Linear, que em dimensão 1 são desnecessários, tornam-se indispensáveis para reformular os conceitos e demonstrar os teoremas do Cálculo Diferencial com ma uma variável. O presente plano de trabalho consiste em estudar alguns conceitos e resultados essenciais da Topologia do espaço euclidiano R^n, os quais permeiam diversas matemáticas, como Geometria Diferencial e Equações Diferenciais, e que se fazem imprescindíveis aos estudantes que almejam aprofundamento teórico para o em cursos de pós-graduação em Matemática. 

Objetivos:

1. Estudar aspectos importantes da construção dos números reais; 

2. Estudar os conceitos de sequências, séries, limite, continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade de uma função real. 

3. Introduzir o conjunto R^n como espaço topológico, munido da topologia induzida pela métrica euclidiana, juntamente com as noções de convergência de seq conjunto aberto, fechado, compacto e conexo; 

4. Participar de eventos científicos para divulgação dos estudos realizados. 

Metodologia: 

A metodologia aplicada será de acordo com os estudos desta natureza: 

1. Pesquisas bibliográficas; 

2. Seminários com a orientadora para discussão do desenvolvimento de cada tópico estudado; 

3. Estudos de disciplinas pré-requisitos para o entendimento do trabalho. 

Referências:

1. ÁVILA, G. S. S. Introdução à análise matemática, 

2. ed., São Paulo: Blucher, 1999. 2. DOERING. C. Introdução a análise matemática na reta. Coleção Textos Universitários; 17. Rio de Janeiro: SBM, 2015. 

3. EVES, H. Introdução à história da matemática, Campinas, SP: Editora Unicamp, 2004. 

4. FIGUEIREDO, D. G. Análise I. 2. ed., Rio de Janeiro: LTC, 2011.

5. LIMA, E. L. Análise Real, vol. 1, 6. Ed., Rio de Janeiro: Coleção Matemática Universitária - Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 2002; 6. LIMA, E. L. Análise Real, vol. 2, 

6. Ed., Rio de Janeiro: Coleção Matemática Universitária - Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 2004; 

7. LIMA, E. L. Curso de análise, vol. 1, 15. ed., Coleção Projeto Euclides: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 2019; 

8. LIMA, E. L. Curso de análise, vol. 2, 15. ed., Coleção Projeto Euclides: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 2000. 

9. LIMA, R. F. DE. Topologia e análise no Espaço Rn. Coleção Textos Universitários; 18. Rio de Janeiro: SBM, 2015.

Equipe técnica:

Orientadora: Profa. Dra. Suellen Arruda

Discente Voluntario: Aline Faraildes Ribeiro Carvalho