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Título: Aplicação do Teorema do Ponto Fixo de Banach para Equações Diferenciais Ordinárias 

Grande Área: Ciências Exatas e da Terra 

Área: Matemática 

Sub-Área: Análise

Introdução e Justificativa:

 A noção de distância entre dois pontos na reta ou no plano ou no espaço tridimensional desempenha um papel fundamental tanto na Geometria quanto no Cálc que se refere ao estudo do Cálculo, as noções de derivação e integração recaem sobre a noção de convergência e limite, e ambas, por sua vez, recaem sobre a distância entre pontos. Com o intuito de generalizar a noção de distância para um conjunto qualquer, deu-se origem a teoria dos espaços métricos. O Teorema d Fixo de Banach, estabelecido pelo matemático Stefan Banach em 1922, é um resultado importante sobre espaços métricos completos, garantindo a existência e unicidades de pontos fixos de certas aplicações. As equações diferenciais constituem um dos ramos mais importantes da Matemática com diversas aplicações na física, biologia, engenharia, economia, entre ou Durante o estudo de um problema modelado por equações diferencias, a pergunta natural é saber se ele é factível, ou seja, se ele possui solução, se sim, é inte saber se deve continuar procurando outras soluções possíveis ou se pode ter certeza de que não existem outras soluções (Boyce e Di Prima, 2020). Neste contexto, um dos teoremas mais importantes é o Teorema de Picard, cuja demonstração é consequência do Teorema do Ponto Fixo de Banach, que garan existência e existência de solução para Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem, que sob certas condições asseguram a existência de um intervalo q solução está definida. Diante da relevância da temática, o presente trabalho consiste no aprofundamento teórico para além dos conhecimentos adquiridos no curso de Licenciatura em Matemática, visando uma complementação na formação acadêmica do discente para fins de ingresso em cursos de pós-graduação na área de Equações Diferenciais.

Objetivos:

1. Estudar a teoria dos espaços métricos: 

2. Estudar os conceitos de Equações Diferenciais, Análise, Topologia, Álgebra Linear e Cálculo envolvidos no tema; 

3. Demonstrar o Teorema do Ponto Fixo de Banach; 

4. Aplicar o teorema de existência e unicidade, conhecido como Teorema de Picard, para resolver equações diferenciais ordinárias de primeira ordem; 

5. Proporcionar ao estudante de graduação uma expansão do conhecimento matemático; 6. Participar de eventos científicos para divulgação dos estudos realizados. 

Metodologia:

 A metodologia aplicada será de acordo com os projetos desta natureza: 

1. Pesquisas bibliográficas; 

2. Seminários quinzenais com a orientadora para discussão do desenvolvimento de cada tópico estudado; 

3. Estudos de disciplinas pré-requisitos para o entendimento do trabalho.

Referências:

1. BOLDRINi, J. L., COSTA, S. I. R., FIGUEIREDO, V. L., WETZLER, H. G., Álgebra Linear (3ª edição), São Paulo: HARBRA, 1986. 

2. BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C; Meade, D. B., Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno (11ª edição), Rio de Janeiro: LTC, 2020. 

3. COELHO, F. U., LOURENÇO, M. L., Um Curso de Álgebra Linear (2ª edição), São Paulo: EDUSP, 2007. 

4. FIGUEIREDO, D. G. de; NEVES, A. F., Equações Diferenciais Aplicadas (3ª edição), Coleção Matemática Universitária: Instituto de Matemática Pura e Aplicada Janeiro, 2010; 

5. LIMA, E. L., Curso de Análise: vol. 1 (14ª edição), Rio de Janeiro: IMPA, 2016. 

6. LIMA, E. L., Curso de Análise: vol. 2 (11ª edição), Rio de Janeiro: IMPA, 2018. 

7. LIMA, E. L., Espaços Métricos (6ª edição), Rio de Janeiro: IMPA, 2020. 

8. STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P., Álgebra Linear (2ª edição), São Paulo: Pearson Makron Books, 1987. 

9. ZILL, D. G.; CULLEN, M. R., Equações Diferenciais Vol. 1 (3ª edição), São Paulo: Pearson Makron Books, 2001.

Equipe técnica:

Orientadora: Profa. Dra. Suellen Arruda

Bolsista: Felipe Francisco da Costa Farias